Шевелим мозгами

Согласен. Я перемудрил.

Однако, если требуется найти только значение х . То можно рассматривать два равенства, как условие, которому может отвечать только х=0.

Совместное решение двух уравнений приводит к такому результату.

Из условия следует, что если точка лежит в Ф_n то все ее координаты по модулю меньше единицы. Следовательно, из того, что точка принадлежит Ф_n следует что она принадлежит Ф_{n+1}. Значит объединение совпадает с Ф_1. Тело же Ф_1 представляет собой аффинный образ октаэдра и объем его следовательно равен 8/6*1/3*1/8=1/18. Последний шаг можно сделать иначе, заметив, что указанное тело состоит из трех прямоугольных тетраэдров.

Ф.

Неа!

Тьфу! Наоборот с Ф_бесконечность. То есть с множеством max{x,8y,z}<1. Это параллелепипед, объём которого равен 1.

Ф.

Совершенно верно. Это параллелепипед 2 на 2 на 1/4. Итого объём=1.
Если кому интересны более подробные рассуждения, то вот на примере х:
Для любой точки -1<x<1 найдётся n такое что 3|x|^n+|8y|^n+|z|^n<1 для любых -1/8<y<1/8, -1<z<1. Для остальных же это не так. Аналогично доказывается, что y и z лежат в соответствующих интервалах.

А экстремумы - чтобы с толку сбить.

Совершенно верно. Можно немного попроще: Для каждого числа x из [-1 ; +1] если x=(+-)1/n, то f(x) = (+-)1/(n+1), В противном случае f(x) = x. n - натуральное.

Полагаю что ни для каких.
У нас есть система: 1)a^2007+b^2007=c^2007; 2)a^2+b^2=c^2
Кроме того, a>0, b>0.
(a^2007+b^2007)^2=(a^2+b^2)^2007
a^4014+2(ab)^2007+b^4014=a^4014+2007*a^4012*b^2+...+C*a^2008*b^2006+C*a^2008*b^2006+...+2007*a^2*b^4012+b^4014
где С - число сочетаний либо 4014 по 2006, либо 4014 по 2008 (они равны). Cократим что можно. Все члены правой части больше нуля. Я обозначу их всех кроме средних как S.:
2(ab)^2007=S+2C(ab)^2006*(a^2+b^2)
S+(2C(ab)^2006*(a^2+b^2)-2(ab)^2007)=0
Докажем что скобка больше нуля.
2C(ab)^2006*(a^2+b^2)-2(ab)^2007=2(ab)^2006*(C*a^2-ab+C*b^2)>0
т.к. С>1. А так как S также строго больше нуля, то наше уравнение решений не имеет.

Ну, при x>=e функция ln x/x строго убывает.

Это просто стандартная задачка из Демидовича за 1 семестр, что тут обсуждать то? Решение предъявлено.

Все решения заведомо содержатся в формулах x=r^{1/{r-1}}, y=x*r, где r - рациональное, r>1, остается проверить, какие из них рациональные. Во всяком случае, годятся x=(1+1/n)^{n}, y=(1+1/n)^{n+1} (x<y).