В соседской квартире заперто 20 кошек

В правильном направлении мыслите... вот на этом и нужно основываться.
Но сразу могу сказать, что решить подобную ситуацию, действительно, непросто. Чтобы добиться изменения ситуации с помощью правовых рычагов понадобится очень много усилий и времени.
Воздействие на таких, осложняющих жизнь соседей, должно быть комплексным. Необходимо заручиться поддержкой тех, кто проживает рядом… и, в качестве подготовительных мероприятий обращаться в соответствующие инстанции, предполагая, что результатом усилий будет суд. Соответствующие органы – это, прежде всего, территориальнй орган Государственной Жилищной инспекции и территориальный орган Федеральной службы по надзору, в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека (Санэпиднадзор). Обращения в эти органы, мотивированное ухудшением саитарного состояния жилого помещения и опасностью возникновения очага инфекционных заболеваний, совершенно необходимы для того, чтобы подготовить материал, основываясь на котором суд сможет принять решение в Вашу пользу.
Чтобы Вы понимали что это за органы, каковы их права и обязанности я приведу несколько извлечений из нормативных актов:

ПОЛОЖЕНИЕ о государственной жилищной инспекции в Российской Федерации (Утверждено
Постановлением Правительства Российской Федерации от 26 сентября 1994 г. N 1086 с изменениями на 13 октября 1997 года)
…
5. Органы государственной жилищной инспекции осуществляют контроль:
за использованием жилищного фонда и придомовых территорий;
за техническим состоянием жилищного фонда и его инженерного оборудования, своевременным выполнением работ по его содержанию и ремонту в соответствии с действующими нормативно-техническими и проектными документами;
…
за санитарным состоянием помещений жилищного фонда в части, согласованной с соответствующими службами санитарно-эпидемиологического контроля;
за соблюдением правил пользования жилыми помещениями и придомовыми территориями;
…
6. Органы государственной жилищной инспекции имеют право:
…
давать предписания собственникам, владельцам и пользователям жилищного фонда и придомовых территорий об устранении выявленных нарушений;
…
в порядке и на условиях, устанавливаемых органами исполнительной власти республик в составе Российской Федерации, краев, областей, автономных образований, городов Москвы и Санкт-Петербурга, применять финансовые санкции за несоблюдение нормативно-технических требований по использованию, содержанию и ремонту жилищного фонда и придомовых территорий и неисполнение предписаний об устранении выявленных недостатков;

Федеральный закон № 52-ФЗ «О санитарно-эпидемиологическом благополучии населения» от 30.03.1999 (с изменениями от 30 декабря 2001 г., 10 января, 30 июня 2003 г., 22 августа 2004 г., 9 мая, 31 декабря 2005 г.)
Статья 2. Обеспечение санитарно-эпидемиологического благополучия населения
1. Санитарно-эпидемиологическое благополучие населения обеспечивается посредством:
…
контроля за выполнением санитарно-противоэпидемических (профилактических) мероприятий и обязательным соблюдением гражданами, индивидуальными предпринимателями и юридическими лицами санитарных правил как составной части осуществляемой ими деятельности;
…
мер по привлечению к ответственности за нарушение законодательства Российской Федерации в области обеспечения санитарно-эпидемиологического благополучия населения.

Статья 10. Обязанности граждан
Граждане обязаны:
выполнять требования санитарного законодательства, а также постановлений, предписаний и санитарно-эпидемиологических заключений осуществляющих государственный санитарно-эпидемиологический надзор должностных лиц;
…
не осуществлять действия, влекущие за собой нарушение прав других граждан на охрану здоровья и благоприятную среду обитания.

Статья 23. Санитарно-эпидемиологические требования к жилым помещениям
…
3. Содержание жилых помещений должно отвечать санитарным правилам.

Статья 50. Права должностных лиц, осуществляющих государственный санитарно-эпидемиологический надзор
…
2. При выявлении нарушения санитарного законодательства, а также при угрозе возникновения и распространения инфекционных заболеваний и массовых неинфекционных заболеваний (отравлений) должностные лица, осуществляющие государственный санитарно-эпидемиологический надзор, имеют право давать гражданам и юридическим лицам предписания, обязательные для исполнения ими в установленные сроки:
об устранении выявленных нарушений санитарных правил;
…
о выполнении работ по дезинфекции, дезинсекции и дератизации в очагах инфекционных заболеваний, а также на территориях и в помещениях, где имеются и сохраняются условия для возникновения или распространения инфекционных заболеваний.

Статья 52. Обязанности должностных лиц, осуществляющих государственный санитарно-эпидемиологический надзор
….
рассматривать обращения граждан и юридических лиц по вопросам санитарно-эпидемиологического благополучия населения и принимать соответствующие меры;

Статья 55. Ответственность за нарушение санитарного законодательства
За нарушение санитарного законодательства устанавливается дисциплинарная, административная и уголовная ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.

Если Указанные органы... а в принципе, они обязаны требовать исполнения своих предписаний вплоть до обращения в суд.... не смогут добиться приведения жилого помещения в надлежащее состояние, то Вы сможете сами, получив документальное подтверждение нарушения правил эксплуатации жилого помещения обратиться в суд с иском о нарушении Вашего права пользования принадлежащим Вам жилым помещением и требованием об устранении такого нарушения в соответствии со следующими нормами ЖК РФ:

Статья 17. Назначение жилого помещения и пределы его использования. Пользование жилым помещением.
...
4. Пользование жилым помещением осуществляется с учетом соблюдения прав и законных интересов проживающих в этом жилом помещении граждан, соседей, требований пожарной безопасности, санитарно-гигиенических, экологических и иных требований законодательства, а также в соответствии с правилами пользования жилыми помещениями, утвержденными Правительством Российской Федерации.

Статья 30. Права и обязанности собственника жилого помещения
...
4. Собственник жилого помещения обязан поддерживать данное помещение в надлежащем состоянии, не допуская бесхозяйственного обращения с ним, соблюдать права и законные интересы соседей, правила пользования жилыми помещениями, а также правила содержания общего имущества собственников помещений в многоквартирном доме.

Ну и естественно, для правильного выстраивания стратегии и тактики давления на Ваших нерадивых соседей, Вам потребуется помощь юриста.