Математические софизмы

Помним))


А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведём в нём биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки о опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ЩУ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и OD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому РDAO=РECO. В то же время РОАС=РОСА, так как треугольник АОС- равнобедренный. Получаем: РВАС=РDAO+РOAC=РECO+РOCA=РBCA.
Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС – равнобедренный: АВ=ВС.

з.ы. Р- это угол



Это сообщение отредактировал Yellowrose - 08-12-2005 - 19:27

Утверждение ложное

Почему?

Потому что она всегда остается ломаной.
А длина ломаной никогда не равняется длине прямой.

Как мне объяснял один препод: результат этих рассуждений заключается не в равенстве длин, а в равенстве количества точек.
Но сейчас я сам думаю, что ломаная в прямую перейти не может. Ведь на каждом шаге у нас остаётся множество точек, не принадлежащих прямой, и это множество имеет мощность континуума, т.е. именно оно является носителем метрических свойств нашей ломаной.

Элементарной математикой можно показать следующее:
1) рассмотрим угол у основания равнобедренного треугольника. Пусть он равен а;
2) пусть длина стороны равна Х;
3) тогда длина основания всегда равна 2*Х*cosa (можете проверить это сами - при любом количестве делений треугольника получим что основание всегда равно 2*Х*cosa)
Это показывает очень сильную сомнительность вывода, предложенного в исходной задаче. И дает надежды на строгое доказательство.

Далее рассмотрим множества точек, составляющих основание и сумму сторон треугольников:
1) очевидно, что множество точек суммы сторон треугольников заведомо мощнее множества точек основания в (1/cosa) раз, хотя (безусловно) оба множества обладают мощностью континуума.
Таким образом получаем, что предельный переход солгал нам: мощности множеств рзличны, а длина линий получаются одинаковыми. Вопрос задачи теперь сводится к следующему: справедливо ли здесь применение предельного перехода? Думаю, что нет. Смотрите сами:
Если исходный треугольник (АВС) не делить, получим, что сумма длин его боковых сторон равна 2*Х
Если поделить его, получим, что длина одной боковой стороны треугольника А(В1)(Х1) составляет Х/2, количество таких сторон стало равным 4.
Делим далее, и для n случаев деления получаем, что длина боковой стороны равна (Х/2^n), количество же таких сторон равно 2^(n+1).
Теперь САМОЕ ИНТЕРЕСНОЕ:
ошибка автора состоит в том, что он берет предел lim (Х/2^n)*2^(n+1) по переменной n (она стремится к бесконечности).
Однако поступать так здесь нельзя: выражение необходимо упростить, и мы получим, что он равно 2*Х. А здесь предел брать по переменной уже нельзя: нет ни функции, ни последовательности. Есть константа, и на этот случай теория предела в общем смысле неприменима. Поэтому предельный переход по переменной n здесь принципиально невозможен. Следовательно, first прав. А софизм действительно интересный. Наверное, парадоксом его назвать нельзя, потому что все сводится к ошибке операции.

с этим мы разобрались...

Думаю, что это один из вариантов, но вариант нестрогий. скорее всего, рассуждать надо именно из теории предельного перехода.

Так, так:) давайте-ка теперь вот этот разберём

Неохота писать...
Но доказательство основано на известном свойстве треугольника, что отрезки отсекаемые биссектрисой на стороне относятся как две другие стороны. ИМХО

Где на рисунке серединный перпендикуляр к стороне АС? И каким образом он участвует в рассуждении.

Биссектриса угла В и серединный перпендикуляр к АС совпадают в равнобедренном треугольнике.